Cripto-FIUBA

Cifrado Afín

El cifrado afín también se le llama cifrado de transformación afín o cifrado monoalfabético genérico. Es un tipo de cifrado por sustitución en el que cada símbolo del alfabeto en claro (el alfabeto del texto en claro) es sustituido por un símbolo del alfabeto cifrado (el alfabeto del texto cifrado) siendo el número de símbolos del alfabeto en claro igual que el número de símbolos del alfabeto cifrado. Para hallar el símbolo del alfabeto cifrado que sustituye a un determinado símbolo del alfabeto en claro, se usa una función matemática afín en aritmética modular. Para poder aplicar la función matemática lo primero que hay que hacer es asignar un orden que a cada símbolo de cada uno de los alfabeto le asocie un número de orden. Una vez establecido esto, la fórmula matemática tiene la siguiente forma:

$c_i=(a*m_i+b)\mod n$

Donde:

$c_i$ : Identifica el símbolo i del texto cifrado

$a$ : Se la llama constante de decimación

$m_i$ : Identifica el símbolo i del texto en claro

$b$ : Se la llama constante de desplazamiento

$n$ : Es el número de símbolos del alfabeto de cifrado (el orden)

Los valores numéricos de $c_i$ y $m_i$ para traducirlos a símbolos de alfabetos, se interpretan como la posición del símbolo en el orden elegido de cada alfabeto.

Sobre los valores de las constantes podemos decir:

$0\leqslantb\leqslant1$ ya que para la sustitución definida para cualquier otro valor de a se puede encontrar un b cuya sustitución es equivalente.
Para que se defina una sustitución utilizable es necesario que $a\neq0$ . Además podemos acotar a que $a\geqslant1$ , ya que la sustitución definida con valores de $a$ negativos se pueden obtener con el mismo valor de $a$ pero sin el signo.
Por las propiedades de la aritmética modular, para que este tipo de cifrado sea operativo es necesario que $a$ y $n$ sean primos entre sí, también llamados coprimos o primos relativos ( $\gcd(a,n) = 1$ ). Esta condición es necesaria para que $a$ tenga inverso de la multiplicación ( $a^{-1}$ ) lo cual es necesario para poder descifrar. Además se puede demostrar que sea $m\geqslant1$ y sea $f:\mathcal{N}_m->\mathcal{N}_m$ definida con $f(x)=(ax+b)\mod m$ con $a$ y $b$ enteros, f es una biyección sí y sólo sí $\gcd(a,m)=1$

Por ejemplo, podemos modelizar el cifrado César, suponiendo el orden natural del alfabeto de n símbolos, por la siguiente ecuación:

$c_i=(m_i+3)\mod n$

En este cifrado la clave viene definida por los valores enteros a y b, y por el orden usado en el alfabeto de claro y en el alfabeto en claro, ambos alfabetos son el mismo número de símbolos, m. Por tanto es un cifrado de clave simétrica.

Para descifrar habrá que realizar el proceso inverso que se puede describir con la función matemática $D(x)=(a^{-1} (x-b))\mod m$ donde $a^{-1}$ representa al inverso multiplicativo en aritmética modular (el menor número que $(a*a^{-1})\mod m = 1$ ).

Este tipo de cifrado se ha generalizado para su uso como cifrador de bloque en los llamados cifradores afínes por bloques.